在此页面上，您将找到有关垂直（或正交）向量的所有内容：它们是什么，当两个向量正交时，如何找到垂直于另一个向量的向量，垂直向量的属性，…此外，您将能够看到垂直或正交向量的几个示例和已解决的练习。
什么是两个垂直或正交向量？在数学中，当两个向量彼此形成直角 (90°) 时，它们就是正交（或垂直）。
在下图中，您可以看到两个垂直的向量：
另一方面，两个向量的垂直度仅取决于它们的方向，而不取决于它们的模（或大小），或者显然，取决于它们的方向。也就是说，如果两个向量成 90 度角，则无论它们的长度是否相同，它们都是垂直的。
如何知道两个向量是正交还是垂直？正如草莓视频在线观看APP刚刚看到的，从图形上很容易看出两个向量是否垂直。但是，您也可以确定两个向量是否正交，而无需绘制它们：
从数值上来说，当两个向量的点积为零 (0) 时，它们就是正交或垂直的。
例如，草莓视频在线观看APP将显示以下两个向量是垂直的，而无需绘制它们：
为了检查这些向量是否垂直（或正交），草莓视频在线观看APP应用 标量积公式：
两个向量的点积结果为零，因此这是两个彼此正交（或垂直）的向量。
请注意，两个向量用符号表示为垂直
因此，两个垂直向量之间的点积为零。然而，两个向量的向量积（向量之间的另一种乘法）给出相反的结果：一个向量垂直于另外两个向量。因此，了解如何区分这两种类型的运算非常重要，您可以在叉积的属性中看到它们之间的差异。
如何计算与另一个向量垂直或正交的向量？计算平面（在 R2 中）中垂直于另一个向量的最简单方法是将向量的两个坐标交错，并将符号更改为 1。
为了获得空间中垂直于另一个的向量（在 R3 中），必须将两个坐标相互插入，然后更改其中一个坐标的符号，最后将坐标设置为零。
这样您就可以看到计算一个正交向量与另一个正交向量时的差异，具体取决于它们是否具有 2 个或 3 个坐标，草莓视频在线观看APP将使用每种类型的向量来解决一个练习。
在笛卡尔平面中找到垂直或正交向量确定垂直于以下二维向量的向量：由于它是一个只有两个分量的向量，为了获得垂直向量，需要交替其分量并对其中一个分量取反：
草莓视频在线观看APP可以从点积公式验证这些确实是垂直向量：
确定笛卡尔空间中的垂直或正交向量计算与以下三维向量正交的向量：在这种情况下，草莓视频在线观看APP有一个三分量向量，因此要获得垂直向量，草莓视频在线观看APP需要交替其两个分量，更改其中一个分量的符号并将剩余坐标转换为零：
草莓视频在线观看APP可以用标量积公式检查这些确实是正交向量：
垂直和正交向量的性质垂直向量具有以下特征：
对称关系：如果一个向量垂直于另一个向量，则该向量也垂直于第一个向量。无自反性质：显然，没有向量可以垂直于自身。在欧几里得几何（R2 中）中，垂直于第三个向量的任何一对向量都必须平行。也就是说，如果一个向量垂直于另一个向量，并且该向量也垂直于第三个向量，则第一个向量和最后一个向量是平行的。这是由于欧几里得第五公设。另一方面，您还应该知道，由于这些特性，可以使用开瓶器规则。这种技术可以很容易地计算一种向量运算，如果没有这个规则，将需要很长时间才能解决。您可以通过单击开瓶器规则的解释来了解这是什么。
与垂直或正交向量相关的概念有两种非常接近垂直向量的向量：法向量和正交向量。尽管它们彼此相关，但草莓视频在线观看APP希望澄清它们的不同之处，以避免任何可能的混淆。
法向量是垂直于平面的向量。因此，它也可以包含在矢量正交性的概念中，但在这种情况下，它垂直于平面而不是另一个矢量。
另一方面，两个正交向量是两个相互正交的向量，而且是单位向量（大小等于 1）。
最后，还应该注意的是，使用正交基（由彼此垂直的向量形成的向量基）甚至正交基是很常见的。事实上，笛卡尔参考系是一个正交基。