设 为 平面上的分段光滑曲线弧段（每段都是光滑的）， 为定义在 上的有界函数，则 在 上对弧长的积分为其中 表示第 段小弧段长度， ，若 在 连续，则 存在，且线性积分与积分路径方向无关。
1.2. 计算直接法：转换为一元积分
参数方程： 直角坐标系： 极坐标：对称性：
积分区域对称，积分函数奇偶性变量对称2. 对坐标的线积分（第二类线积分）2.1. 定义设 为 平面上的从 A 到 B 一段有向光滑曲线， 为 上的有界函数，则 沿 对坐标的积分为其中 表示第 段小弧段长度， ， 分别是 在 x, y 轴上的投影。若 P, Q 在 连续，则上述积分存在，且线性积分与积分路径方向有关。
2.2. 与对弧长的积分的关系2.3. 计算
直接法：转化为一元积分
格林公式：
设闭区域 D 由分段光滑闭曲线 L 围成，函数 P(x,y) 及 Q(x,y) 在 D 上有一阶连续偏导数（分别对 y,x 有一阶连续偏导），则有 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线（L 的正向左侧为 D）。
利用积分与路径无关：
设 P(x,y), Q(x,y) 在单连通域 D 上有连续一阶偏导（分别对 y, x 偏导），则一下四条命题等价
C 为 D 中任意光滑闭曲线， L 为任意光滑曲线， 与路径无关存在可微函数 ，使得 在 D 内任一点，证明：
1->2：明显
2->3：对 D 上任意两点 ，令 ，则
3->4：F 的二阶偏导连续->二阶偏导相等
4->1：格林公式
运用：沿坐标轴积分 4->2；凑可微函数 4->3；闭曲线4->1
3. 空间的线积分3.1. 计算直接法：转换为一元积分斯托克斯公式：设闭区域 分段光滑的空间有向闭曲线 围成的分段光滑有向曲面，函数 P，Q，R 在 上有一阶连续偏导数，则有 3.2. 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）3.3. 定义设 为分片光滑曲面片（每片都是光滑的）， 为定义在 的有界函数，则 在 上对面积积分为其中 为第 i 个小曲面块的面积，若 在 上连续，则 存在，且与曲面 选取的侧无关。
3.4. 计算直接法： 对称性：面对称和变量对称4. 对坐标的面积分（第二类面积分）4.1. 定义设 为光滑有向曲面， 在 上有界，则其中 为第 i 个小曲面块在坐标面 上的投影，若 P, Q, R 在 上连续，则 存在，且与曲面 选取的侧有关。
4.2. 两类曲面积分的联系
其中 为曲面 上一点指定侧的法向量的方向余弦（法向量指向指定侧，方向余项为法向量与坐标轴正向的夹角的余弦）。
4.3. 计算直接法
若有向曲面 ，则
若有向曲面的法向量与 x 轴正向夹角为锐角，则上式为 +
若有向曲面 ， 在 上与连续一阶偏导数，P, Q, R 在 上连续，则
若有向曲面的法向量与 x 轴正向夹角为锐角，则上式为 +
高斯公式
设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上有连续一阶偏导数，闭曲面 取外侧，则注意函数 P, Q, R 分母为零的点
注意点
当积分区域为有向区域时，用区域对称性化简时要考虑区域的方向。
5. ChangeLog2018.08.10 重积分
2018.08.14 曲线积分
2018.08.15 曲面积分
2018.08.16 场论初步、多元积分应用
2018.09.14 删除物理应用
2018.09.14 删除重积分