There exist 还是There exists，取决于后面主语的单复数。这实际是个完全倒装语序，exist是谓语动词，后面的名词是主语。There 起引导作用，本身无意义。
观察你的两个例句，是否符合上述规则：
There exists some new problems such as being dishonest.（误）
There exist some new problems such as being dishonest.（正）
其实，英语中这种用法没有什么奇怪的。不单是exist，其他一些静态动词，如stand, sit, lie, live 都可以这样用。例如：
第一组：
1. There lives a big family in a village.
村里住着一个大户人家。
2. Near the Florida Peninsula, there live lots of dolphins.
佛罗里达半岛附近省份生活着很多海豚。
第二组：
1. There lies a small town at the foot of the mountain.
山脚下有一个小镇。
2. In the southwest frontiers of China there lie many luxuriant forests where live a great variety of plants and animals.
在祖国西南边陲，有着许多茂密的大森林，里面有着各种各样的植物和动物。
第三组：
1. There stands a man-made hill near the lake. 在湖边有一座假山。2. There stand two stone lions at the entrance of the yard. 院门口放着两头石狮子。