原创 Quanta Magazine zzllrr小乐
数学家们已经推翻了一个关于曲率与形状之间关系的重要猜想。
作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志资深科普作家 2024-5-14
译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-5-19
在一个古老的印度寓言中，六个盲人各自摸到了大象的不同部分。他们对大象的样子意见不一：它是光滑的还是粗糙的？它像蛇（摸到象鼻的人认为）还是扇子（摸到象耳的人认为）？如果盲人能综合他们的见解，他们可能就能正确描述大象的特征。然而，他们最终却陷入了争吵。
几十年来，拓扑学家一直希望避免陷入类似的陷阱。他们认为可以通过综合大量的局部测量来表征数学形状。但新发现的、看似矛盾的弯曲空间表明，情况并非总是如此。“事情可能比草莓视频在线观看APP想象的要复杂得多，”意大利博科尼大学的埃利亚·布鲁埃（Elia Bruè）说，他与另外两位数学家合作证明了这一点。
拓扑学家对他们所研究的形状进行拉伸和压缩。从拓扑学的角度来看，一条无限细的橡皮筋等同于一个圆，因为你可以很容易地将它变形为圆形。拓扑学家倾向于根据形状的整体性质来表征它们：它们是否有孔洞，像甜甜圈？它们是否无限延伸，像无限平面，或者它们是否拓扑“紧”（compact）的，像球面的曲面？它们的“直线”是否无限延伸——使它们成为数学家所说的“完备”（complete）——还是有尽头？
但就像寓言中的大象一样，很难直接感知拓扑形状的整体性质。因此，数学家希望了解它们与局部几何性质的关系，比如曲率。提供一个形状在每个点处如何弯曲的信息，你能说出它的整体拓扑结构吗？
1968年，当时在普林斯顿大学的著名数学家约翰·米尔诺（John Milnor，1931 -）猜测，一个完备形状的平均曲率足以告诉草莓视频在线观看APP它不可能有无限多个洞。在接下来的50年里，许多结果都支持了他的说法。“你很容易相信它是真的，因为在很多实际情况下它都是真的，”纽约大学柯朗研究所的杰夫·切格尔（Jeff Cheeger）说。“而且，你究竟如何才能构造出一个反例呢？”
在这个数学领域，多伦多大学的维塔利·卡波维奇（Vitali Kapovitch）说，“米尔诺猜想可能是最大的未解决问题。”
因此，在2023年，布鲁埃和两位同事着手证明它。他们最终找到了一个反例 http://arxiv.org/abs/2303.15347 ——并在这个过程中构建了一种全新的拓扑形状。“这是一项了不起的工作，”切格尔说。“一个里程碑。”
拓扑学的圣杯
要理解米尔诺的猜想，首先考虑拓扑学家和几何学家如何思考曲率会有所帮助。
两者都研究流形（manifold，即放大后看起来是平坦的空间）。一只在球面、甜甜圈或其他二维流形曲面上的小蚂蚁，会感觉到它的紧邻区域与二维平面没有什么不同。但是，如果蚂蚁向任何方向移动一点，它可能会注意到空间开始发生变化或弯曲。局部平坦流形的概念很容易推广到更高维度。但曲率更难定义。
以最简单的情况为例：一个一维物体，比如一个圆。令人惊讶的是，这些一维空间在数学意义上不能被内在地弯曲。一个沿着圆行走的一维几何学家，无法感知到超过一维的东西，会认为她在走直线——当她发现自己在往回走时会感到惊讶。
但是，如果你将一个圆嵌入到二维平面中，很明显它具有恒定的、正的外在曲率。（这里的相关区别在于内在和外在曲率：你被困在空间内部之所见 vs 你从外部看它时之所见）。
较小的圆在你移动它们时弯曲得更快，因此具有更高的外在曲率；较大的圆具更低的曲率。（从这个意义上说，一条直线就像一个无限大的圆。它的曲率为零，表明它是完全平坦的。）草莓视频在线观看APP也可以将这个定义应用于具有变化曲率的更复杂形状，通过考虑在任何给定点上匹配该形状所需的圆的大小。这样，曲率就是一个局部性质：流形上的每一点都有一个相关联的曲率。
对于一个曲面——一个二维流形——有许多方法可以放置圆，使它们与曲面上的曲线相匹配。在给定的点上，你可以通过在该点放置一个适当大小的圆来测量曲率，该圆的大小与曲面在该点的曲率相匹配。然而，令人惊讶的是，在该点处曲面的曲率可以用一个数字来定义。如果你找到给出最大和最小曲率值的方向，并将这些值相乘，你就得到一个叫做高斯曲率（Gaussian curvature）的数字。这个数字以一种有用的方式总结了关于曲面如何弯曲的信息。更令人惊讶的是，高斯曲率是一个内在性质（intrinsic property 内禀性质）：它不依赖于曲面可能被放置的任何更高维背景空间。从这个意义上说，这看起来有点荒谬，尽管球面是内在弯曲的，但是圆柱面不是。
以一个数字表示曲率
在曲面上的每一点上，曲率可以沿不同方向变化。将最大曲率和最小曲率相乘，得到一个信息量，称为高斯曲率。
图源：Merrill Sherman/Quanta Magazine
译制：zzllrr小乐
这个数字也帮助数学家得出关于空间拓扑的结论。
例如，假设在一个二维流形上的每一点，高斯曲率都是正的。那么拓扑学家可以证明它不可能像甜甜圈那样有洞。（它要么是球面这种标准曲面，要么是另一种具有更复杂的可能性的曲面。）另一方面，如果在每一点，高斯曲率都是零，那么有两种可能的解，一种是有洞的，一种是没有洞的：流形可能是平的，像无限平面，但它也可能是一个圆柱面或一个莫比乌斯带（Möbius strip）。圆柱面与无限平面的不同之处在于它中间有一个洞。而莫比乌斯带与圆柱面的不同之处在于它包含了扭曲（twist）。
在三个或
